Delante significa en la parte anterior, en frente o ante alguien; se usa por lo general para indicar la situación de alguien o algo.

Adelante, por su parte, equivale a más allá, hacia allá, o hacia enfrente, y se emplea para indicar la existencia de un movimiento, sea real o figurado. La forma alante, por otro lado, es incorrecta.

Cuándo usar delante: Delante es un adverbio de lugar; se emplea con el significado de en la parte anterior, en frente o en presencia de alguien. Por lo general, es un adverbio que indica la situación de alguien o algo. Normalmente, va seguido de un complemento introducido con DE, que expresa el término de referencia. Asimismo, también se usa cuando va precedido por las preposiciones hacia o para.

Ejemplos:

Estaba esperándola delante de su casa.
No me hables de esa manera delante de tu padre.
Vamos hacia delante, quizá podamos ver mejor.

Cuándo usar adelante: Adelante es un adverbio de lugar; es empleado con el significado de más allá, hacia allá, hacia delante o hacia enfrente. En este sentido, supone la existencia de un movimiento, que podrá ser real o figurado. A veces puede aparecer precedido de las preposiciones hacia o para, aunque en dichos casos sea preferible optar por el uso de delante.

Ejemplos:

Debemos llegar adelante, allá están todos.
Sigamos adelante, no tiene caso detenernos por menudencias.

Por otra parte, cuando se usa con el significado de en la parte delantera, también puede usarse con verbos de estado.

Ejemplo: Quiero sentarme adelante contigo.

En estos casos, puede combinarse con adverbios como tan, más, muy.

Ejemplo: Hemos aparcado más adelante.

La expresión a delante formada por la preposición a y el adverbio delante no existe en la lengua española y se considera un error ortográfico. Cada palabra por separado tiene significado, pero juntas no constituyen una locución válida. Por lo tanto, siempre se debe usar adelante para expresar movimiento, ubicación o continuidad.