Con que, con qué y conque: Son palabras homófonas, es decir, que suenan igual pero se escriben de manera diferente.

Con que es una secuencia formada por la preposición con y el relativo que, que es equivalente a con el cual, con la cual, o, en plural, con los cuales o con las cuales. Es significativo que admite un artículo intercalado: con [el/la/los/las] que.

Ejemplos: Estas son las herramientas con que vamos a trabajar.
En mi familia están las personas con que siempre he contado.

En oraciones sustantivas subordinadas, la secuencia se forma con la preposición con y la conjunción que, en dicho caso no es admisible intercalar un artículo entre ambos términos.

Ejemplos: Con que nos pongamos de acuerdo en este asunto es suficiente. Con que pintaras la casa bastaba, no tenías por qué hacer nada más.

Con qué se usa en oraciones interrogativas o exclamativas, directas o indirectas. Se compone con la preposición con y el pronombre interrogativo o exclamativo qué.

Ejemplos: ¿Con qué dinero vas a comprar el pan? ¡Con qué entusiasmo llegaste! No sabe con qué instrumentos contará para su presentación.

Conque es una conjunción ilativa, es decir, conecta dos frases u oraciones expresando consecuencia, causa. Equivale a así que, por tanto, por consiguiente, en consecuencia. Asimismo, también puede usarse en frases exclamativas o interrogativas para denotar sorpresa o censura.

Ejemplos: Me ha gustado mucho el producto, conque voy a comprarlo. ¡Conque te has escondido para no hacer la tarea! ¿Conque quieres un abrazo?

Como sustantivo, conque también es usado coloquialmente con el sentido de condición o requisito que se pone a una cosa, o como el quid de la cuestión.

Ejemplo: Confesó lo que le dijeron con el conque de que su condena fuera reducida.